50. 연립방정식의 활용(5) - 나이

현재 아버지와 딸의 나이의 차는 21세이고, 4년 전에 아버지의 나이는 딸의 나이의 4배였다. 아버지와 딸의 현재 나이를 각각 구하시오.

현재 나이:

아버지 나이: x세

딸 나이: y세

x−y=21 (현재 나이 차)

4년 전 나이:

아버지 나이: x−4세

딸 나이: y−4세

x−4=4(y−4) (4년 전 아버지 나이가 딸의 4배)

두 번째 식을 정리합니다: x−4=4y−16 x=4y−12

첫 번째 식에 x 대신 4y−12를 대입합니다: (4y−12)−y=21 3y−12=21 3y=33 y=11

딸의 현재 나이 y=11을 첫 번째 식에 대입합니다: x−11=21 x=32

정답: 아버지 32세, 딸 11세

51. 현재 이모와 진욱이의 나이의 합은 36세이고, 20년 후에는 이모의 나이가 진욱이의 나이의 2배보다 4세가 많다고 한다. 현재 진욱이의 나이는?

현재 나이:

이모 나이: I세

진욱이 나이: J세

I+J=36

20년 후 나이:

이모 나이: I+20세

진욱이 나이: J+20세

I+20=2(J+20)+4

두 번째 식을 정리합니다: I+20=2J+40+4 I+20=2J+44 I=2J+24

첫 번째 식에 I 대신 2J+24를 대입합니다: (2J+24)+J=36 3J+24=36 3J=12 J=4

정답: 4세 (④)

53. 성일이와 민희가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 2계단을 올라가고 진 사람은 1계단을 내려가기로 하였다. 가위바위보를 총 17번 하여 민희이가 처음보다 4계단 위에 올라가 있었을 때, 성일이가 이긴 횟수를 구하시오. (단, 비기는 경우는 생각하지 않는다.)

성일이가 이긴 횟수: S

민희이가 이긴 횟수: M

총 17번의 가위바위보를 했으므로: S+M=17

민희이의 계단 변화를 기준으로 식을 세웁니다.

민희이가 이기면 2계단 올라가고 (2M)

민희이가 지면 (성일이가 이기면) 1계단 내려간다 (−1S)

민희이가 처음보다 4계단 위에 있으므로: 2M−S=4

첫 번째 식에서 S=17−M 이므로, 이를 두 번째 식에 대입합니다: 2M−(17−M)=4 2M−17+M=4 3M−17=4 3M=21 M=7

이제 S를 구합니다: S=17−M=17−7=10

정답: 성일이가 이긴 횟수 10번

54. 현정이와 건우가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 3계단을 올라가고 진 사람은 2계단을 내려가기로 하였다. 얼마 후 현정이는 처음 위치보다 16계단, 건우는 처음 위치보다 11계단 올라가 있었다. 이때, 현정이가 이긴 횟수를 구하시오. (단, 비기는 경우는 생각하지 않는다.)

현정이가 이긴 횟수: H

건우가 이긴 횟수: K

현정이의 계단 변화: 현정이가 이기면 3계단 올라가고 (3H) 현정이가 지면 (건우가 이기면) 2계단 내려간다 (−2K) 3H−2K=16

건우의 계단 변화: 건우가 이기면 3계단 올라가고 (3K) 건우가 지면 (현정이가 이기면) 2계단 내려간다 (−2H) 3K−2H=11

두 식을 연립하여 풉니다.

3H−2K=16

−2H+3K=11

첫 번째 식에 3을 곱하고, 두 번째 식에 2를 곱하여 K를 소거합니다.

9H−6K=48

−4H+6K=22

두 식을 더합니다: (9H−4H)+(−6K+6K)=48+22 5H=70 H=14

정답: 현정이가 이긴 횟수 14번

55. 수민이와 민욱이가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 a계단을 올라가고 진 사람은 b계단을 내려가기로 하였다. 얼마 후 수민이는 처음 위치보다 26계단을, 민욱이는 처음 위치보다 1계단을 올라가 있었다. 수민이는 11회, 민욱이는 16회 졌다고 할 때, a+b의 값을 구하시오. (단, 비기는 경우는 생각하지 않는다.)

수민이가 이긴 횟수: SW​

수민이가 진 횟수: SL​=11

민욱이가 이긴 횟수: MW​

민욱이가 진 횟수: ML​=16

수민이의 계단 변화:

이긴 사람은 a계단 올라가고 (+a)

진 사람은 b계단 내려간다 (−b)

수민이의 총 계단 변화: a×SW​−b×SL​=26 a×SW​−b×11=26 (식 1)

민욱이의 계단 변화: 민욱이의 총 계단 변화: a×MW​−b×ML​=1 a×MW​−b×16=1 (식 2)

가위바위보는 비기지 않으므로, 한 명이 이긴 횟수는 다른 한 명이 진 횟수와 같습니다.

수민이가 이긴 횟수 (SW​) = 민욱이가 진 횟수 (ML​) = 16

민욱이가 이긴 횟수 (MW​) = 수민이가 진 횟수 (SL​) = 11

이제 이 값들을 식 1과 식 2에 대입합니다. 식 1: a×16−b×11=26⇒16a−11b=26 식 2: a×11−b×16=1⇒11a−16b=1

두 식을 연립하여 a와 b를 풉니다.

16a−11b=26

11a−16b=1

첫 번째 식에 16을 곱하고, 두 번째 식에 11을 곱하여 b를 소거합니다.

256a−176b=416

121a−176b=11

두 식을 뺍니다. (식 1에서 식 2를 뺍니다) (256a−121a)−(176b−176b)=416−11 135a=405 a=135405​=3

a=3을 두 번째 식 11a−16b=1에 대입합니다: 11×3−16b=1 33−16b=1 −16b=1−33 −16b=−32 b=2

최종적으로 a+b의 값을 구합니다. a+b=3+2=5

정답: a+b=5